Комплексные числа

Определение комплексного числа

Комплексное число имеет вид

\[a+ib\]

здесь a и b – действительные числа, а i – число нового рода, называемое мнимой единицей.

Мнимые числа – представляют собой частный вид комплексных чисел (когда a = 0). С другой стороны, и действительные (т.е. положительные и отрицательные) числа, являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a называется абсциссой комплексного числа. Действительное число b называется ординатой комплексного числа. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i · i равно –1

\[i^2 = -1\]

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчиненные тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частности правилу 2. Отсюда произошли названия: Мнимая единица, мнимое число и т.п.

В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также в физике и технике (теория упругости, электротехника, аэродинамика и другие).

Великие математики,
открывшие комплексные числа и их свойства

Кардано
Кардано

Бомбелли
Бомбелли
Декарт
Декарт
Муавр
Муавр
Гаусс
Гаусс
Эйлер
Эйлер

История комплексных чисел

В связи с развитием алгебры, математикам потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел, числа нового рода. Комплексные числа.

Итальянский математик Кардано в середине 16-ого века для решения кубических уравнений ввел квадратные корни из отрицательных чисел. Квадратные корни из отрицательных чисел он назвал софистическими, т.е. мудреными.

Решения уравнений третьей степени по формулам Кардано исследовал итальянский математик Бомбелли. Он обнаружил некоторые свойства комплексных чисел.

Французкий математик Декарт в 30-х годах 17-ого века ввел наименование мнимые числа, которое применяется по сей день.

В противоположность мнимым числам прежде известные числа (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными.

Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом. Это термин впервые ввел немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году.

В 18-ом веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но само существование комплексных чисел многим казалось сомнительным.

В 1707-ом году Муавр открыл формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18-ого века русский академик Эйлер.

На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием.

Комплексные числа

стр. 53