Возведение комплексного числа в целую степень, формула Муавра
При возведении комплексного числа в любую целую степень модуль комплексного числа возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.
\[
(a + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b)^2 = \\ =
(r(\cos(φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(φ)))^2 = \\ =
r^2 (\cos(2φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(2φ))
\]
а также
\[ (a + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b)^3 = \\ =
(r(\cos(φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(φ)))^3 = \\ =
r^3 (\cos(3φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(3φ))
\]
и вообще
\[ (a + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}b)^n = \\ =
(r(\cos(φ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(φ)))^n = \\ =
r^n (\cos(nφ) + \htmlStyle{color: MediumPurple;}{i}\sin(nφ))
\]
Данная формула называется формулой Муавра. Она верна и для целого отрицательного значения n, а также для n = 0.
Возвести комплексное число в целую степень по формуле Муавра (3)
Возведение комплексного числа в целую степень, формула Муавра |
стр. 77 |
|---|
