Иррациональные числа — определение, свойства и примеры

Рациональными числами математика не ограничивается. Существуют числа, которые невозможно записать в виде обыкновенной дроби p/q — сколько ни подбирай числитель и знаменатель. Их десятичная запись тянется бесконечно и никогда не образует повторяющегося блока цифр. Такие числа называются иррациональными. Самые известные из них — √2, π и число e — знакомы каждому, кто учился в школе, но понимание того, почему эти числа устроены именно так, приходит далеко не сразу.

Определение

Иррациональное число — это действительное число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Если перевести такое число в десятичную дробь, она окажется бесконечной и непериодической: после запятой идут цифры, которые не складываются ни в какой повторяющийся паттерн.

Для сравнения: рациональное число 1/3 = 0,333… тоже бесконечная дробь, но в ней бесконечно повторяется одна и та же цифра 3 — это период. У иррационального числа периода нет и быть не может.

Множество иррациональных чисел принято обозначать буквой I (или J в некоторых учебниках). Вместе с рациональными числами Q они образуют множество действительных (вещественных) чисел R: R = Q ∪ I.

Само слово «иррациональное» происходит от латинского irrationalis — «неразумный», «бессмысленный». Древние греки именно так восприняли открытие чисел, которые не укладывались в их представление о пропорциях. По легенде, пифагореец Гиппас, обнаруживший иррациональность √2, был изгнан из общины (по другой версии — утоплен). Открытие разрушало философию пифагорейцев, считавших, что весь мир описывается соотношениями целых чисел.

Самые известные примеры

Иррациональных чисел бесконечно много — их даже «больше», чем рациональных (в смысле мощности множеств). Но несколько из них встречаются настолько часто, что заслуживают отдельного упоминания.

• √2 ≈ 1,41421356… — длина диагонали квадрата со стороной 1. Первое число, иррациональность которого была доказана (ещё в Древней Греции).
• √3 ≈ 1,73205080… — высота равностороннего треугольника со стороной 2.
• √5 ≈ 2,23606797… — появляется в формуле золотого сечения.
• π ≈ 3,14159265… — отношение длины окружности к её диаметру. Используется в геометрии, физике, инженерии и программировании.
• e ≈ 2,71828182… — основание натурального логарифма. Ключевая константа в математическом анализе, теории вероятностей и финансовых расчётах (непрерывное начисление процентов).
• φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,61803398… — золотое сечение. Встречается в архитектуре, живописи, биологии (расположение семян подсолнуха, спираль раковины наутилуса).

Корень из любого натурального числа, которое не является точным квадратом, — иррационален. То есть √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10 и так далее — всё это иррациональные числа. А √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4 — рациональные, потому что извлекаются без остатка.

Чем иррациональные числа отличаются от рациональных

Главное различие — в представимости дробью. Рациональное число всегда можно записать как m/n. Его десятичная запись либо конечна (0,25 = 1/4), либо бесконечна, но периодична (0,1666… = 1/6). Иррациональное число не допускает ни того, ни другого: дробь бесконечна и никогда не зацикливается.

На числовой прямой и те, и другие числа расположены вперемешку. Между любыми двумя рациональными числами найдётся иррациональное, и наоборот — между любыми двумя иррациональными найдётся рациональное. Но при этом иррациональных чисел «несравнимо больше»: множество рациональных чисел счётно (их можно пронумеровать), а множество иррациональных — несчётно.

Доказательство иррациональности √2

Это классическое доказательство от противного, которое приписывают пифагорейцам. Оно короткое и красивое.

Допустим, √2 рационально, то есть √2 = m/n, где дробь m/n несократима (m и n не имеют общих делителей, кроме 1).

Возведём обе части в квадрат: 2 = m²/n², откуда m² = 2n².

Значит, m² — чётное число. Но квадрат нечётного числа всегда нечётен, следовательно m — чётное. Запишем m = 2k.

Подставляем: (2k)² = 2n² → 4k² = 2n² → n² = 2k².

Теперь n² тоже чётное, значит n тоже чётное. Но если и m, и n чётные, дробь m/n можно сократить на 2 — а мы договорились, что она несократима. Противоречие.

Значит, исходное допущение неверно, и √2 нельзя представить в виде дроби. Число √2 иррационально.

По аналогичной схеме доказывается иррациональность √3, √5 и корня из любого натурального числа, не являющегося точным квадратом.

Свойства иррациональных чисел

При работе с иррациональными числами важно понимать, как они ведут себя в арифметических операциях. Результат не всегда очевиден.

• Сумма рационального и иррационального всегда иррациональна. Например, 3 + √2 — иррациональное число.
• Произведение рационального (ненулевого) и иррационального всегда иррационально. Например, 5·π — иррациональное число.
• Сумма двух иррациональных может оказаться как иррациональной, так и рациональной. Пример: (3 + √2) + (3 − √2) = 6 — рациональное число.
• Произведение двух иррациональных тоже может дать рациональный результат: √2 · √2 = 2.
• Разность двух иррациональных — аналогично: π − π = 0 (рациональное).

Из этих свойств следует важный практический вывод: нельзя автоматически считать, что результат действия над иррациональными числами тоже иррационален. Каждый случай нужно разбирать отдельно.

Как определить — рациональное число или нет

Несколько быстрых проверок, которые работают в большинстве школьных задач.

Если число представлено как обыкновенная дробь с целым числителем и натуральным знаменателем — оно рациональное по определению. Конечная десятичная дробь (например, 0,375) — тоже рациональное число, потому что 0,375 = 375/1000 = 3/8.

Бесконечная периодическая дробь (например, 0,1666… = 1/6) — рациональна. Бесконечная непериодическая — иррациональна, но на практике вам никто не даст бесконечную запись; вместо этого число будет задано через корень или специальную константу.

Корень √n из натурального числа n: если n не является точным квадратом — число иррационально. Корень ∛n из натурального числа n: если n не является точным кубом — иррационально. И так далее для корней любой степени.

Числа π, e, ln 2, sin 1° и подобные — все иррациональны, хотя доказательства этого порой весьма нетривиальны.

Действия с иррациональными числами

В точных вычислениях иррациональные числа оставляют в символьном виде: пишут √2, а не 1,414… Это позволяет избежать накопления ошибок округления.

Сложение и вычитание

Складывать и вычитать можно только «одноимённые» корни — по аналогии с подобными слагаемыми в алгебре.

3√2 + 5√2 = 8√2
7√3 − 2√3 = 5√3
√2 + √3 — упростить нельзя, оставляем как есть.

Умножение и деление

Здесь работает свойство √a · √b = √(a·b).

√2 · √3 = √6
√12 · √3 = √36 = 6
√18 / √2 = √(18/2) = √9 = 3

Упрощение корней

Выражение √18 можно упростить: 18 = 9 · 2, значит √18 = √9 · √2 = 3√2. Аналогично √50 = √25 · √2 = 5√2, √72 = √36 · √2 = 6√2. Приём простой: ищем наибольший точный квадрат, который делит подкоренное число.

Избавление от иррациональности в знаменателе

В математике принято не оставлять корни в знаменателе дроби. Чтобы убрать √ из знаменателя, числитель и знаменатель домножают на подходящее выражение.

1/√2 = 1·√2 / (√2·√2) = √2/2
3/√5 = 3√5/5
1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/((√3 − 1)(√3 + 1)) = (√3 + 1)/(3 − 1) = (√3 + 1)/2

В последнем примере использована формула разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b². Выражение √3 + 1 называется сопряжённым к √3 − 1.

Алгебраические и трансцендентные

Иррациональные числа делятся на два класса. Алгебраические — это корни многочленов с целыми коэффициентами. Число √2 алгебраическое, потому что оно является корнем уравнения x² − 2 = 0. Золотое сечение φ тоже алгебраическое: оно корень x² − x − 1 = 0.

Трансцендентные числа — те, которые не являются корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. К ним относятся π и e. Доказать трансцендентность числа намного сложнее, чем доказать иррациональность. Трансцендентность π была установлена Фердинандом фон Линдеманом в 1882 году, а числа e — Шарлем Эрмитом в 1873 году.

Практическое следствие трансцендентности π: невозможно построить циркулем и линейкой квадрат, равный по площади данному кругу (задача о квадратуре круга). Эта задача ставила в тупик математиков более двух тысяч лет.

Где используются иррациональные числа

В геометрии без них не обойтись: длина диагонали квадрата, высота равностороннего треугольника, длина окружности — все эти величины выражаются через иррациональные числа. Формула площади круга S = πr² и формула длины окружности C = 2πr содержат π.

В физике число e появляется в законах радиоактивного распада, описании колебаний, формулах термодинамики. В электротехнике переменный ток описывается через тригонометрические функции, аргументы которых содержат π.

В программировании иррациональные числа хранятся приближённо — как числа с плавающей запятой. Константы Math.PI и Math.E есть в стандартных библиотеках практически любого языка. Точности 15–16 знаков (формат double) хватает для подавляющего большинства инженерных и научных расчётов.

В архитектуре и дизайне активно используется золотое сечение φ ≈ 1,618. Пропорции Парфенона, картин Леонардо да Винчи, современных логотипов нередко строятся на этом числе — считается, что оно создаёт визуально гармоничные соотношения.

Иррациональные числа — такая же полноправная часть числовой прямой, как целые или дробные. Они не записываются точно в виде дроби, зато точно описывают реальные величины: длины, площади, скорости роста. Уметь работать с ними — упрощать корни, избавляться от иррациональности в знаменателе, различать рациональное и иррациональное — нужно и в школе, и в вузе, и на практике.

Иррациональные числа — определение, свойства и примеры