Закон больших чисел: формула и примеры
Отдельное случайное событие невозможно предсказать с уверенностью. При одном подбрасывании монеты может выпасть орёл или решка, а при одном броске игральной кости — любое число от 1 до 6. Однако при многократном повторении одного и того же опыта результаты становятся устойчивее: относительная частота события обычно приближается к его теоретической вероятности. Эту закономерность описывает закон больших чисел.
Закон не устраняет случайность и не обещает точного совпадения частоты с вероятностью после заданного числа опытов. Его смысл в другом: чем длиннее серия независимых испытаний с неизменными условиями, тем меньше влияние отдельных необычных результатов на общую долю наблюдаемого события.
Что такое закон больших чисел
Закон больших чисел объединяет несколько теорем теории вероятностей. В простейшем случае рассматривают повторные независимые испытания, в каждом из которых событие A происходит с одной и той же вероятностью p. Если опыт проведён n раз, а событие наступило m раз, его относительная частота равна:
Теорема Бернулли утверждает, что при увеличении числа испытаний относительная частота m/n сходится по вероятности к числу p. Формально это записывают так:
Здесь ε — заранее выбранная допустимая погрешность. Запись означает: при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что относительная частота отличается от теоретической вероятности меньше чем на ε, становится сколь угодно близкой к единице.
Теорема не указывает номер опыта, после которого частота навсегда останется в заданном интервале. Она описывает поведение серии в пределе и показывает, что большие относительные отклонения становятся всё менее вероятными.
Частота и вероятность
Вероятность — характеристика математической модели. Для правильной монеты вероятность выпадения орла равна 0,5 ещё до начала опыта. Относительная частота рассчитывается по фактически полученным данным: если орёл появился 7 раз в 10 бросках, частота равна 7/10 = 0,7.
Чтобы не путать основные величины, полезно разделять их смысл:
- Вероятность p задаётся условиями случайного опыта или оценивается по модели.
- Абсолютная частота m показывает, сколько раз событие произошло.
- Относительная частота m/n показывает долю наступлений события в проведённой серии.
- Отклонение |m/n − p| показывает, насколько наблюдаемая доля отличается от теоретического значения.
Таким образом, вероятность относится к устройству модели, а частота — к результатам конкретного наблюдения. Закон больших чисел связывает эти понятия: при соблюдении условий теоремы большая серия позволяет использовать частоту как приближение вероятности.
Пример с подбрасыванием монеты
Рассмотрим правильную монету, для которой вероятность выпадения орла равна p = 0,5. После нескольких бросков доля орлов может заметно отличаться от половины. Один орёл в одном броске даёт частоту 1, а две решки в двух бросках — частоту 0. Оба результата допустимы и не противоречат модели.
Ниже приведён условный пример одной последовательности испытаний. Эти значения не обязаны повторяться в каждой серии, но хорошо показывают, как меняется относительное отклонение:
| Число бросков n | Число орлов m | Частота m/n | Отклонение от 0,5 |
|---|---|---|---|
| 10 | 7 | 0,700 | 0,200 |
| 100 | 54 | 0,540 | 0,040 |
| 1000 | 503 | 0,503 | 0,003 |
| 10 000 | 5008 | 0,5008 | 0,0008 |
Таблица иллюстрирует не обязательное выравнивание числа орлов и решек, а уменьшение разницы в долях. При 10 000 бросков орлов оказалось на 16 больше, чем решек, поэтому абсолютное различие не исчезло. Однако относительно общего числа опытов этот перевес мал: частота орла отличается от 0,5 всего на 0,0008.
Почему короткая серия вводит в заблуждение
На малом числе испытаний один результат сильно влияет на частоту. После двух бросков каждый новый орёл или решка изменяет долю сразу на десятки процентных пунктов. После тысячи бросков один дополнительный исход меняет относительную частоту приблизительно на одну тысячную. Поэтому график частоты в начале обычно колеблется резко, а затем становится визуально устойчивее.
Из этого иногда делают ошибочный вывод, будто случайность должна быстро исправлять отклонения. Если орёл выпал пять раз подряд, ожидают, что вероятность решки в следующем броске стала выше. Для независимых испытаний это неверно: правильная монета и после серии орлов даёт решку с той же вероятностью 0,5.
Закон больших чисел действует не через обязательное чередование исходов, а через уменьшение относительного веса коротких серий. Даже десять одинаковых результатов подряд могут заметно изменить частоту в выборке из двадцати опытов, но почти не повлияют на выборку из миллиона опытов.
Слабый и усиленный закон больших чисел
В элементарных задачах чаще всего используют теорему Бернулли, относящуюся к частоте события. В более общей форме рассматривают независимые одинаково распределённые случайные величины X1, X2, ..., Xn с конечным математическим ожиданием M(X). Их выборочное среднее равно:
Слабый закон больших чисел утверждает, что выборочное среднее сходится к математическому ожиданию по вероятности. Иначе говоря, вероятность заметного отклонения среднего от M(X) стремится к нулю при росте n.
Усиленный закон формулирует более сильный результат: при выполнении соответствующих условий выборочное среднее сходится к математическому ожиданию с вероятностью 1. Для большинства учебных задач достаточно понимать общий смысл обеих формулировок: длинная серия наблюдений делает среднее устойчивее, хотя отдельные значения по-прежнему могут сильно отличаться друг от друга.
Применение и ограничения
Закон больших чисел лежит в основе статистических оценок. Он позволяет судить о свойствах массового случайного процесса по достаточно большой выборке, если наблюдения получены в сопоставимых условиях. Теорему используют в следующих задачах:
- оценка доли бракованных изделий по результатам контроля большой партии;
- расчёт средней частоты страховых случаев по массиву договоров;
- анализ результатов медицинских и социальных исследований;
- проверка генераторов случайных чисел по длинным последовательностям;
- оценка среднего результата измерений при случайной погрешности;
- прогнозирование нагрузки, отказов и других массовых событий.
Большое число наблюдений не заменяет корректную модель. Если условия меняются, данные зависимы или выборка систематически искажена, простое увеличение её объёма не устраняет ошибку.
Закон больших чисел также не гарантирует, что частота станет точно равна вероятности, а отклонение будет уменьшаться после каждого нового опыта. Он не позволяет предсказать следующий результат и не требует, чтобы редкий исход обязательно появился в пределах короткой серии.
Главный смысл закона больших чисел состоит в том, что случайность отдельного опыта совместима с закономерностью массовых наблюдений. Вероятность не определяет конкретный исход, однако задаёт устойчивую характеристику процесса, которая всё отчётливее проявляется при увеличении числа испытаний. Поэтому относительная частота служит одним из основных способов экспериментально оценивать вероятность.
Закон больших чисел |
теория вероятностей |
|---|
