Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник, формула

Правильный многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и углами. Угол между двумя соседними вершинами правильного n-угольника равен:

\[AOB = α = \frac{360°}{n}\]
Радиус вписанной окружности правильного многоугольника
Описанный многоугольник

Построим треугольник AOB отдельно. Об этом треугольнике мы знаем: он равнобедренный, и высота этого треугольника это радиус вписанной окружности правильного многоугольника. Также нам известна длина основания a этого треугольника — которое является стороной исходного правильного многоугольника.

Также известен угол между бедрами — по формуле (1). Опустим высоту на основание и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник. При помощи тригонометрических функций острого угла получим:

\[tg(\frac{360°}{2n}) = \frac{a}{2r}\]

отсюда получим формулу радиуса вписанной окружности правильного многоугольника:

\[r = \frac[-2.4]{a}{2 tg(\frac{360°}{2n})}\]
(a - сторонa правильного многоугольника; n - число сторон правильного многоугольника; r - радиус вписанной окружности правильного многоугольника)

Вычислить, найти радиус вписанной окружности в правильный многоугольник по формуле (3)

нажмите кнопку для расчета

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

стр. 250