Как работает центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема объясняет, почему нормальное распределение так часто встречается в статистике. Даже если отдельные случайные величины распределены не по нормальному закону, их сумма или среднее при достаточно большом числе наблюдений во многих случаях начинают вести себя почти как нормально распределённая величина.
Теорема не утверждает, что исходные данные обязательно имеют форму колокола. Она описывает распределение суммы и выборочного среднего. Именно поэтому её применяют при оценке погрешностей, построении доверительных интервалов и приближённом расчёте вероятностей.
Смысл теоремы
Пусть имеются независимые одинаково распределённые случайные величины X1, X2, ..., Xn. Предположим, что у каждой из них существуют конечное математическое ожидание μ и конечная дисперсия σ2. Рассмотрим сумму:
При увеличении n стандартизированная сумма приближается по распределению к стандартному нормальному закону:
Это означает, что после вычитания среднего значения и деления на стандартное отклонение форму распределения суммы можно приближённо описывать нормальной кривой. Чем больше число слагаемых и чем лучше выполняются условия теоремы, тем точнее такое приближение.
Формула для среднего
На практике часто рассматривают не сумму, а выборочное среднее:
Его математическое ожидание равно μ, а дисперсия — σ2/n. Стандартизированная форма записывается так:
При росте объёма выборки разброс среднего уменьшается. Поэтому среднее по тысяче наблюдений обычно устойчивее среднего по десяти наблюдениям, хотя отдельные значения в обеих выборках могут сильно отличаться друг от друга.
Почему возникает нормальное распределение
Каждое слагаемое вносит в сумму небольшую случайную часть. Если ни одно наблюдение не определяет результат целиком, множество независимых влияний накладываются друг на друга. Крупные положительные и отрицательные отклонения встречаются реже, а значения около среднего — чаще. В результате распределение суммы постепенно приобретает колоколообразную форму.
При этом центральная предельная теорема описывает не точное превращение одного закона распределения в другой, а предельное приближение. Для конечного числа наблюдений разница сохраняется. Скорость сходимости зависит от исходного распределения, его асимметрии, наличия редких крупных значений и объёма выборки.
Пример с игральной костью
Рассмотрим правильную шестигранную кость. Результат одного броска принимает значения от 1 до 6 и имеет равномерное, а не нормальное распределение. Математическое ожидание одного броска равно:
Дисперсия результата одного броска равна 35/12, а стандартное отклонение приблизительно равно 1,708. Для суммы ста независимых бросков получаем:
- математическое ожидание суммы: 100 × 3,5 = 350;
- дисперсия суммы: 100 × 35/12;
- стандартное отклонение суммы: √(100 × 35/12) ≈ 17,08.
Следовательно, сумму результатов ста бросков можно приближённо описывать нормальным распределением со средним 350 и стандартным отклонением около 17,08. Исход одного броска остаётся равномерно распределённым, но распределение большой суммы уже близко к нормальному.
Отличие от закона больших чисел
Обе теоремы работают с большими сериями случайных наблюдений, но отвечают на разные вопросы. Сравнение удобно представить в таблице:
| Теорема | Что описывает | Главный результат |
|---|---|---|
| Закон больших чисел | Поведение выборочного среднего | Среднее приближается к математическому ожиданию |
| Центральная предельная теорема | Распределение суммы или среднего | Стандартизированная величина приближается к нормальному распределению |
Закон больших чисел показывает, к какому значению стремится среднее. Центральная предельная теорема дополняет эту картину и описывает характер случайных отклонений вокруг ожидаемого значения.
Когда приближение работает плохо
Нормальное приближение нельзя применять автоматически. Перед расчётом нужно проверить условия задачи:
- наблюдения должны быть независимыми или зависимость должна быть достаточно слабой;
- случайные величины не должны иметь бесконечную дисперсию в классической формулировке;
- объём выборки должен быть достаточным для формы исходного распределения;
- одно редкое наблюдение не должно полностью определять сумму;
- при дискретных распределениях иногда требуется поправка на непрерывность.
Правило «достаточно 30 наблюдений» не является универсальным. Для почти симметричных распределений приближение может быть приемлемым раньше, а при сильной асимметрии или тяжёлых хвостах может потребоваться значительно большая выборка.
Где применяется теорема
Центральная предельная теорема позволяет заменять сложное распределение суммы более удобной нормальной моделью. На этом основаны многие стандартные методы статистики:
- оценка среднего значения по выборке;
- построение доверительных интервалов;
- проверка статистических гипотез;
- оценка погрешности массовых измерений;
- приближённый расчёт биномиальных и других дискретных вероятностей;
- анализ совокупного влияния большого числа малых факторов.
Теорема особенно полезна там, где точное распределение суммы вычислить сложно, но известны среднее значение, дисперсия и число наблюдений.
Что важно запомнить
Центральная предельная теорема не делает исходные данные нормально распределёнными. Она показывает, что стандартизированная сумма или выборочное среднее при выполнении условий приближаются к нормальному закону. Благодаря этому можно оценивать вероятности и погрешности даже тогда, когда распределение отдельных наблюдений имеет другую форму.
Центральная предельная теорема |
теория вероятностей |
|---|
