Десятичные дроби: как выполнять действия без ошибок
Десятичная дробь — удобный способ записать число, в котором есть целая и дробная части. Например, половину можно представить как 0,5, четверть — как 0,25, а две целых и три десятых — как 2,3. Такая запись особенно удобна для вычислений, потому что строится на той же десятичной системе, что и обычные целые числа.
Основная сложность при работе с десятичными дробями связана не с самими арифметическими действиями, а с разрядами. Нужно понимать, что обозначают цифры после запятой и почему положение каждой из них влияет на значение числа.
Как устроена десятичная дробь
Запись 6,483 можно рассматривать как сумму нескольких частей:
Число 6 стоит перед запятой и образует целую часть. После запятой идут дробные разряды: 4 десятых, 8 сотых и 3 тысячных.
Поэтому положение цифры принципиально важно. Пять десятых и пять сотых записываются по-разному:
Второе число в десять раз меньше первого.
| Положение после запятой | Название разряда | Доля единицы |
|---|---|---|
| 1-е | десятые | 1/10 |
| 2-е | сотые | 1/100 |
| 3-е | тысячные | 1/1000 |
| 4-е | десятитысячные | 1/10000 |
Нули в правом конце дробной части можно дописывать или убирать:
Значение от этого не меняется. Иначе обстоит дело с нулями между запятой и значащей цифрой:
Здесь ноль показывает, в каком именно разряде находится цифра 7.
Сравнение десятичных дробей
Две десятичные дроби удобно сравнивать поразрядно. Сначала смотрят на целую часть. Если она одинакова, переходят к цифрам после запятой: к десятым, затем к сотым, тысячным и далее.
Возьмём числа 5,418 и 5,46. Чтобы их было легче сопоставить, второе можно записать как 5,460:
Целые части равны. В разряде десятых тоже стоят одинаковые цифры — 4. Следующий разряд уже различается: 1 сотая у первого числа и 6 сотых у второго. Следовательно:
Количество цифр после запятой само по себе ничего не говорит о величине дроби. Например:
Девять десятых значительно больше ста тридцати семи тысячных, хотя запись 0,137 длиннее.
Как складывать и вычитать десятичные дроби
При сложении и вычитании важно, чтобы одинаковые разряды участвовали в одном действии. Поэтому единицы располагают под единицами, десятые — под десятыми, сотые — под сотыми.
Сложение
Найдём сумму 7,35 и 12,6. Для наглядности допишем ноль ко второму числу:
Дополнительный ноль нужен только для удобства записи. Он не меняет значение числа 12,6.
Аналогично:
Вычитание
Пусть требуется из 20,3 вычесть 4,76. Уравняем число знаков после запятой:
Такой способ помогает не перепутать десятые и сотые. Если расположить числа только по правому краю, не обращая внимания на запятые, разряды окажутся смещены.
Умножение десятичных дробей
Умножение выполняют в два этапа. Сначала числа рассматривают так, будто запятых в них нет. Затем определяют, где должна находиться запятая в произведении.
Например, вычислим:
Если временно убрать запятые, получим:
В исходных множителях всего две цифры находились после запятых: одна в числе 1,6 и одна в числе 2,3. Поэтому две крайние цифры произведения относятся к дробной части:
Рассмотрим пример, где результат меньше единицы:
Сначала:
В исходных числах суммарно три десятичных знака. Значит:
Нули перед цифрой 2 здесь обязательны: без них значение числа изменится.
Что происходит при умножении на 10, 100 и 1000
Каждое умножение на 10 повышает разрядность числа на одну позицию. В десятичной записи это выглядит как перемещение запятой вправо:
Таким образом, число позиций соответствует количеству нулей у степени десяти.
Как делить десятичные дроби
Деление на целое число
Если делитель целый, дробь делят почти так же, как обычное натуральное число. Запятая в результате появляется в тот момент, когда вычисление переходит от целой части делимого к дробной.
Например:
Правильность ответа легко проверить умножением:
Деление на десятичную дробь
Если в делителе есть дробная часть, удобнее сначала получить целый делитель. Для этого оба числа увеличивают в 10, 100, 1000 и так далее раз — в зависимости от количества знаков после запятой в делителе.
Например:
У числа 0,7 один десятичный знак. Умножаем делимое и делитель на 10:
Если делитель содержит две цифры после запятой, понадобится множитель 100:
Частное при таком преобразовании остаётся прежним, потому что оба участника деления изменяются в одинаковое число раз.
Деление на 10, 100 и 1000
Деление на 10 уменьшает разряд каждого элемента числа на одну позицию, поэтому запятая визуально сдвигается влево:
Если слева не хватает цифр, необходимые позиции заполняются нулями.
Связь обычных и десятичных дробей
Обычная и десятичная запись могут обозначать одно и то же число. Например:
Перевод обычной дроби в десятичную
Если знаменатель можно преобразовать в 10, 100, 1000 и другую степень десяти, удобно воспользоваться равносильной дробью.
Например:
Универсальный способ — выполнить деление числителя на знаменатель:
Однако результат деления не всегда заканчивается после определённого количества цифр.
Например:
Здесь цифра 6 повторяется бесконечно. Такая запись называется периодической.
Когда получается конечная десятичная дробь
Есть точный признак. Сначала обычную дробь необходимо сократить. Если после сокращения знаменатель раскладывается только на множители 2 и 5, десятичная запись закончится.
Например:
Поскольку присутствует множитель 3, дробь со знаменателем 24 не обязательно будет конечной. Но важно предварительное сокращение. Например:
После сокращения знаменатель равен 8 = 23, поэтому дробь всё же имеет конечную запись.
Для дроби 5/12 после сокращения знаменатель остаётся равным 12:
Из-за множителя 3 получается бесконечная периодическая запись.
Перевод десятичной дроби в обычную
Конечную десятичную дробь можно представить как отношение целого числа к степени десяти. Количество десятичных знаков определяет число нулей в знаменателе.
Например:
Для числа с тремя знаками:
Если есть целая часть, принцип тот же:
После получения обычной дроби её сокращают, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.
Какие ошибки встречаются чаще всего
У десятичных дробей несколько правил, которые легко перепутать. Полезно контролировать не только вычисление, но и порядок величин.
- Смешение разрядов при сложении. Записывать нужно не последние цифры друг под другом, а запятые друг под другом.
- Сравнение по длине записи. Число 0,81 больше 0,709, хотя у второго больше цифр.
- Удаление нулей слева в дробной части. Из 0,006 нельзя получить 0,6: это увеличение в 100 раз.
- Неверное количество десятичных знаков в произведении. Оно определяется суммой знаков после запятой у множителей.
- Изменение только делителя. При преобразовании 0,4 в 4 делимое тоже нужно умножить на 10.
- Путаница направления при действиях со степенями десяти. Умножение увеличивает число, деление уменьшает, если все величины положительны.
Ошибку часто можно заметить ещё до точного пересчёта. Например, 0,3 · 0,4 должно быть меньше и 0,3, и 0,4. Поэтому результаты 1,2 или 0,12 легко сравнить с ожидаемым порядком величины: подходит только 0,12.
Полезно проверять и деление. Если 8 разделить на число меньше единицы, результат должен стать больше 8. Поэтому значение 8 / 0,5 = 16 выглядит логично, а результат 4 сразу указывает на ошибку.
Работа с десятичными дробями становится значительно проще, если воспринимать запятую не как отдельный символ, а как границу между целыми и дробными разрядами. Тогда правила сложения, умножения и деления перестают выглядеть набором исключений и следуют из устройства десятичной системы счисления.
Десятичные дроби: как выполнять действия без ошибок |
арифметика |
|---|
