Сложение колебаний одинаковой частоты одного направления

При наложении двух гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, возникает гармоническое колебание с той же частотой, а его амплитуда зависит от амплитуд и начальных фаз отдельных колебаний. Результирующее отклонение в каждый момент времени равно алгебраической сумме составляющих отклонений.

Сложение колебаний одинаковой частоты одного направления - векторная диаграмма
Сложение колебаний одинаковой частоты одного направления — векторная диаграмма

Если

Ym1Амплитуда колебаний 1,метр
у1Отклонение колебаний 1,метр
φ01начальная фаза колебаний 1,радиан
Ym2Амплитуда колебаний 2,метр
у2Отклонение колебаний 2,метр
φ02начальная фаза колебаний 2,радиан
ωчастота колебаний,радиан/сек
tпродолжительность колебаний,сек
YmрезАмплитуда результирующих колебаний,метр
урезОтклонение результирующих колебаний,метр
φ0резначальная фаза результирующих колебаний,радиан

то

\[ у_{рез} = у_1 + у_2 = Y_{m1} · \sin(ωt + φ_{01}) + Y_{m2} · \sin(ωt + φ_{02}) \]

Многократного применения теорему сложения, получаем

\[ у_{рез} = Y_{m рез} · \sin(ωt + φ_{0 рез}) \]

при этом

\[ Y_{m рез} = \sqrt{Y_{m1}^2 + Y_{m2}^2 + 2 · Y_{m1} · Y_{m2} · \cos(φ_{01} - φ_{02})} \]

и

\[ φ_{0 рез} = \arctg \frac[-1.4]{Y_{m1} · \sin(φ_{01}) + Y_{m2} · \sin(φ_{02})}{Y_{m1} · \cos(φ_{01}) + Y_{m2} · \cos(φ_{02})} \]

На рисунке амплитуды представлены векторами. Их направления соответствуют начальным фазам. В течение времени t они поворачиваются на один и тот же угол ωt, поскольку колебания имеют одинаковую частоту. Представление колебаний с помощью вращающихся векторов называется векторной диаграммой. Оно позволяет находить амплитуду и отклонение, не прибегая к математическим выкладкам.

В частном случае равных амплитуд (Ym1 = Ym2) выражения (3) и (4) упрощаются:

\[ Y_{m рез} = 2 · Y_{m1} · \cos(\frac{φ_{01} - φ_{02}}{2}) \]

и

\[ φ_{0 рез} = \frac{φ_{01} + φ_{02}}{2} \]

Для разности начальных фаз ∆φ = 0 или π получаем следующие частные случаи:

Условия Результат
Ym1 = Ym2∆φ = 0Отклонения удваиваются
Ym1 ≠ Ym2∆φ = 0Отклонения суммируются
Ym1 = Ym2∆φ = πОба колебания взаимно уничтожаются
Ym1 ≠ Ym2∆φ = πОтклонения вычитаются

Обратите внимание:

\[ ∆φ = φ_{01} - φ_{02} \]

Сложение колебаний одинаковой частоты

стр. 517