Перемножение (произведение) матриц, формула
Произведением матрицы
\[ A = a_{i,j} = (a_{i,j})(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n;) \]имеющей порядки m и n на матрицу
имеющую порядки n и p называется матрица
имеющая порядки m и p и элементы определяемые формулой
Иначе: Элемент ci,j стоящий на пересечении i строки и j столбца матрицы С равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы A и j столбца матрицы B
Пример:
a_{21} a_{22} a_{23} \rbig · \lbig b_{11} b_{12}
b_{21} b_{22}
b_{31} b_{32} \rbig = \]
Здесь A (m=2 строки, n=3 столбца), B (n=3 строки, p=2 столбца), Новая матрица С (m=2 строки, p=2 столбца),
(a_{21}·b_{11} + a_{22}·b_{21} + a_{23}·b_{31}) (a_{21}·b_{12} + a_{22}·b_{22} + a_{23}·b_{32})
\rbig $
Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используется запись
Перемножение (произведение) матриц, есть операция составления произведения матрицы A на матрицу B.
Условие перемножения (произведения) матриц
Матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B. Необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B
Оба произведения A·B и B·A можно определить только в том случае, когда число столбцов A совпадает с числом строк B, а число строк A совпадает с числом столбцов B. При этом обе матрицы A·B и B·A будут квадратными, но порядки их будут разными.
Чтобы оба произведения A·B и B·A были определены и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы матрицы A и B были квадратными матрицами одного порядка.
Свойства перемножения (произведения) матриц
1. Сочетательное свойство произведения матриц
2. Распределительное свойство произведения матриц относительно суммы матриц
2. Перестановочное свойство произведения матриц справедливо и меет место лишь в исключительных частных случаях. В общем случае произведение матриц не обладает таким свойством, т.е.:
Частный случай выполнения перестановочного свойства для произведения матриц
Если в диагональной матрице D все элементы главной диагонали равны друг другу, т.е.
то для любой квадратной матрицы A порядка n справедливо равенство
Перемножение матриц |
стр. 106 |
|---|
