Радиус описанной окружности правильного многоугольника, формула

Правильный многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и углами. Угол между двумя соседними вершинами правильного n-угольника равен:

\[AOB = α = \frac{360°}{n}\]
Радиус описанной окружности правильного многоугольника
Вписанный многоугольник

Построим треугольник AOB отдельно. Об этом треугольнике мы знаем: он равнобедренный, и бедра этого треугольника это радиусы описанной окружности правильного многоугольника. Также нам известна длина основания a этого треугольника — которое является стороной исходного правильного многоугольника.

Также известен угол между радиусами R — по формуле (1). Опустим высоту на основание и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник. При помощи тригонометрических функций острого угла получим:

\[sin(\frac{360°}{2n}) = \frac{a}{2R}\]

отсюда получим формулу радиуса описанной окружности правильного многоугольника:

\[R = \frac[-2.4]{a}{2 sin(\frac{360°}{2n})}\]
(a - сторонa правильного многоугольника; n - число сторон правильного многоугольника; R - радиус описанной окружности правильного многоугольника)

Вычислить, найти радиус описанной окружности правильного многоугольника по формуле (3)

нажмите кнопку для расчета

В помощь студенту

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

стр. 244