Сумма нескольких векторов

Сумма нескольких векторов а1, а2, а3, … , аn, это вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному вектору прибавляется вектор а3 и т.д.

Из определения вытекает такое построение

Сумма нескольких векторов
Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника или правило цепи

Из произвольного начала О строим вектор ОА1 = а1, из точки А1, как из начала, строим вектор А1А2 = а2, из точки А2 строим вектор А2А3 = а3 и т.д. Вектор ОАn (на рисунке n = 6) есть сумма векторов а1, а2, … , аn.

Сумма векторов а1, а2, а3, а4, а5, а6 обозначается

\[ \vect{a_1}+\vect{a_2}+\vect{a_3}+\vect{a_4}+\vect{a_5}+\vect{a_6} \]

Свойство сочетательности

Слагаемые векторы можно группировать как угодно.

Так, если найти сначала сумму векторов

\[ \vect{a_2}+\vect{a_3}+\vect{a_4}+\vect{a_5}+\vect{a_6} = \vect{A_1 A_6} \]

и к ней прибавить вектор а1 (ОА1), то получим то же вектор:

\[ \vect{a_1}+(\vect{a_2}+\vect{a_3}+\vect{a_4}+\vect{a_5}+\vect{a_6}) =
= \vect{a_1}+\vect{a_2}+\vect{a_3}+\vect{a_4}+\vect{a_5}+\vect{a_6} \]

Правило параллелепипеда

Если три вектора а, b, с после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то сумму а+b+c можно найти таким построением:

Правило параллелепипеда - Сумма нескольких векторов
Правило параллелепипеда — Сумма нескольких векторов

Из любого начала О строим векторы ОА = а, ОВ = b, ОС = с, на отрезках ОА, ОВ, ОС, как на ребрах, строим параллелепипед. Вектор диагонали OD есть сумма векторов a, b, и c (так как ОА = а, АК = ОВ = b, KD = OC = c и OD = OA + AK + KD).

К векторам, которые (после приведения к общему началу) лежат в одной плоскости, это построение неприменимо.

Сумма нескольких векторов

стр. 171