Условие перпендикулярности двух прямых

Условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями

\[ \lvbig у = а_1 х + b_1
у = а_2 х + b_2 \r.\]

служит соотношение

\[ а_1 · а_2 = -1 \]

т.е. две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1, и не перпендикулярны, если оно не равно -1.

Пример 1.

Прямые

\[ \lvbig у = 3х
у = - \frac{1}{3} х \r.\]

перпендикулярны, так как

\[ а_1 · а_2 = 3 · (-\frac{1}{3}) = -1 \]
Пример 2.

Прямые

\[ \lvbig у = 3х
у = \frac{1}{3} х \r.\]

не перпендикулярны, так как

\[ а_1 · а_2 = 3 · (\frac{1}{3}) = 1 \]

Если уравнение одной из двух прямых не содержит ординаты (т.е. прямая праллельная оси OY), то эта прямая перпендикулярна к другой прямой при условии, что уравнение последней не содержит абсциссы (тогда вторая прямая параллельная оси абсцисс). В противном случае прямые не перпендикулярны. Например прямые х=5 и у=2х не перпендикулярны.

Условие перпендикулярности двух прямых через определитель

Если две прямые представлены уравнениями

\[ \lvbig A_1 x + B_1 y + C_1 = 0
A_1 x + B_1 y + C_1 = 0 \r.\]

то условие их перпендикулярности есть

\[ A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0 \]

или в другом обозначении (определитель второго порядка)

\[ \lhbig A_1  -B_1  
 B_2  A_2  \rhbig = 0 \]
Пример 3.

Прямые

\[ \lvbig 2x + 5y - 8 = 0
5x - 2y - 3 = 0 \r.\]

перпендикулярны. Здесь

\[ А_1 = 2, А_2 = 5, В_1 = 5, В_2 = -2, \]

значит,

\[ А_1 А_2 + В_1 В_2 = 10 – 10 = 0 \]
Пример 4.

Прямые

\[ \lvbig \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 0
2x - 3y = 0 \r.\]

не перпендикулярны, так как здесь

\[ А_1 А_2 + В_1 В_2 = 2 \]

Проверить условие перпендикулярности прямых

нажмите кнопку для расчета

В помощь студенту

Условие перпендикулярности двух прямых

стр. 148