Перемножение (произведение) матриц, формула

Произведением матрицы

\[ A = a_{i,j} = (a_{i,j})(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n;) \]

имеющей порядки m и n на матрицу

\[ B = b_{i,j} = (b_{i,j})(i=1,2,…,n; j=1,2,…,p;) \]

имеющую порядки n и p называется матрица

\[ С = с_{i,j} = (с_{i,j})(i=1,2,…,m; j=1,2,…,p;) \]

имеющая порядки m и p и элементы определяемые формулой

\[ с_{i,j} = \sum\from{k=1}\to{n}a_{i,k}·b_{k,j} (i=1,2,…,m; j=1,2,…,p;) \]

Иначе: Элемент ci,j стоящий на пересечении i строки и j столбца матрицы С равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы A и j столбца матрицы B

Пример:

\[ C = \lbig   a_{11}    a_{12}    a_{13}   
  a_{21}    a_{22}    a_{23}    \rbig · \lbig   b_{11}    b_{12}   
  b_{21}    b_{22}   
  b_{31}    b_{32}    \rbig = \]

Здесь A (m=2 строки, n=3 столбца), B (n=3 строки, p=2 столбца), Новая матрица С (m=2 строки, p=2 столбца),

\[ C = \] $ \lbig (a_{11}·b_{11} + a_{12}·b_{21} + a_{13}·b_{31})   (a_{11}·b_{12} + a_{12}·b_{22} + a_{13}·b_{32})
(a_{21}·b_{11} + a_{22}·b_{21} + a_{23}·b_{31})   (a_{21}·b_{12} + a_{22}·b_{22} + a_{23}·b_{32})
\rbig $

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используется запись

\[ C = A·B \]

Перемножение (произведение) матриц, есть операция составления произведения матрицы A на матрицу B.

Условие перемножения (произведения) матриц

Матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B. Необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B

Оба произведения A·B и B·A можно определить только в том случае, когда число столбцов A совпадает с числом строк B, а число строк A совпадает с числом столбцов B. При этом обе матрицы A·B и B·A будут квадратными, но порядки их будут разными.

Чтобы оба произведения A·B и B·A были определены и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы матрицы A и B были квадратными матрицами одного порядка.

Свойства перемножения (произведения) матриц

1. Сочетательное свойство произведения матриц

\[ (A·B)·C = A·(B·C) \]

2. Распределительное свойство произведения матриц относительно суммы матриц

\[ (A + B)·C = A·С + B·C \]

2. Перестановочное свойство произведения матриц справедливо и меет место лишь в исключительных частных случаях. В общем случае произведение матриц не обладает таким свойством, т.е.:

\[ A·B ≠ B·A \]

Частный случай выполнения перестановочного свойства для произведения матриц

Если в диагональной матрице D все элементы главной диагонали равны друг другу, т.е.

\[ d_1 = d_2 = … = d_n = d \]

то для любой квадратной матрицы A порядка n справедливо равенство

\[ A·D = D·A \]

В помощь студенту

Перемножение матриц

стр. 131