Строфоида

Строфоиду в 1645 году впервые изучал французский ученый Г.Персонье (1602 — 1675). В его трудах эта линия называлась птероида от греческого птербн (πτερον) — крыло.

Персонье родился в деревне Роберваль и поэтому взял себе созвучный псевдоним. Он изобрел весы, которые назвали его именем, а также заложил основы метода бесконечно малых величин.

Современное название этой линии, Строфоида, происходит от греческого слова строфе (στροφη) — поворот, а предложил его математик Миди в 1849 г.

Определение и построение строфоиды

Прямая строфоида

построение прямой строфоиды
построение прямой строфоиды

Чтобы построить прямую строфоиду или просто строфоиду, необходимо провести взаимно-перпендикулярные прямые АВ и CD. Обозначим точку пересечения AB и CD буквой O. Через точку А провести прямую произвольно, в любом направлении, чтобы эта прямая пересекла CD в некоторой точке P. назовем эту прямую AL. Измеряем расстояние от точки P до точки O, и проводим циркулем радиус PO. Там где окружность пересекается с прямой AL поставим точки M1 и M2.

Прямая строфоида
геометрическое место точек M1 и M2.

Косая строфоида

Косая строфоида строится аналогично прямой строфоиде, но АВ и CD пересекаются не под прямым углом.

Стереометрическое образование

Прямая строфоида

Дан цилиндр. Его ось CD. Его радиус AO. Плоскость К перпендикулярна чертежу и проходит через точку A. Прямая AL след плоскости K. Сечение цилиндра плоскостью K есть эллипс. Фокусы эллипса M1, M2 описывают прямую строфоиду.

Косая строфоида

Строится аналогично, но цилиндр заменяется конусом. Ось конуса OS перпендикулярна к AB. Прямая UV, проходит через B параллельно CD, — одна из образующих. Плоскость К перпендикулярна чертежу и проходит через точку A. Прямая AL след плоскости K. Сечение конуса плоскостью K есть эллипс. Точки M1, M2 - фокусы сечения. Косая строфоида расположена на обеих полостях конической поверхности и проходит через вершину S.

Уравнение строфоиды в декартовой системе

O — начало, ось ОХ направлена по лучу ОВ, АО = а, угол AOD = α. когда строфоида — косая, система координат — косоугольная. ось OY направлена по лучу OD:

\[ y^2(х - а) - 2х^{2}у\cos(α) + х^{2}(а + х) = 0 \]

Для прямой строфоиды уравнение приводится к виду:

\[ y = ±x\sqrt{\frac{a+x}{a-x}} \]
Строфоида
Оформление линии
Цвет
Стиль
Толщина
Расчет графика
Nчисло точек
Расположение
Число Колонок
1
1 2 3 4
Сетка
Nxшагов
10
1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 100
Nyшагов
10
1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 100
нажмите кнопку для расчета

Уравнение строфоиды в полярной системе

O — полюс, ОХ — полярная ось:

\[ ρ = -\frac{a\cos(2φ)}{cos(φ)} \]

Рациональное параметрическое представление

(u = tg(φ)):

\[ x = a\frac{u^{2}-1}{u^{2}+1} \]
\[ y = au\frac{u^{2}-1}{u^{2}+1} \]

Особенности строфоиды

Точка О узловая. Касательные к двум ветвям, проходящим через О, взаимно перпендикулярны и для прямой, и для косой строфоиды. Прямая UV — асимптота для косой строфоиды (при бесконечном удалении вниз). Также UV касается косой строфоиды в точке S, равноотстоящей от А и В.

У прямой строфоиды точка касания S «уходит в бесконечность» (при удалении вверх), так что прямая UV служит асимптотой для обеих ветвей.

Радиус кривизны в узловой точке прямой строфоиды

\[ R_0 = a\sqrt{2} \]

Площадь петли AOM прямой строфоиды

\[ S = 2a^{2} - \frac{1}{2}πa^2 \]

Объем тела, произведенного вращением петли AOM вокруг оси OX

\[ V = πa^{3}(2 \ln(2)-\frac{4}{3}) \]

Площадь, между ветвями OU`, OV` и асимптотой

Эта площадь простирается в бесконечность, но имеет конечную величину.

\[ S = 2a^{2} + \frac{1}{2}πa^2 \]

Объем тела, произведенного вращением фигуры U`OV`VU около оси ОХ

Имеет бесконечную величину.

В помощь студенту

Строфоида

стр. 126