Отклонение затухающих колебаний, формула

Отклонение затухающих колебаний

Если

yотклонение,метр
y0начальная амплитуда,метр/сек
e = 2.718основание натуральных логарифмов,
δ = β/2mкоэффициентом затухания,1/сек
tвремя,сек
ωзаткруговая частота затухающих колебаний,радиан/сек
φ0начальная фаза,радиан
φфаза,радиан
\[ φ = ω_{зат}t + φ_0 \]

то решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет вид

\[ y = y_0 e^{-δt} \sin(φ) \]

Амплитуда экспоненциально уменьшается со временем.

Отношение двух последовательных значений амплитуды остается постоянным. Эти численные значения амплитуд образуют убывающую геометрическую прогрессию.

Если

kотношение амплитуд,
δ = β/2mкоэффициентом затухания,1/сек
Tпериод затухающих колебаний,сек
Λлогарифмический декремент,
nлюбое целое число,

то

\[ \frac[-1.4]{Y_{m, i}}{Y_{m, i+1}} = k \]

Следовательно, n-я амплитуда определяется формулой

\[ Y_{m, i+1} = \frac{Y_{m, i}}{k^n} \]

Поскольку промежуток времени между двумя последовательными амплитудами равен периоду Т, получаем

\[ e^{δT} = \frac[-1.4]{Y_{m, i}}{Y_{m, i+1}} \]

Или

\[ e^{n δT} = \frac[-1.4]{Y_{m, i}}{Y_{m, i+1}} \]

Показатель экспоненты δТ называется логарифмическим декрементом Λ. Логарифмирование формулы дает

\[ Λ = δT = \ln(\frac[-1.4]{Y_{m, i}}{Y_{m, i+1}}) \]

Логарифмический декремент Λ представляет собой натуральный логарифм отношения амплитуд k.

Отклонение затухающих колебаний

стр. 508