Связанные колебания

Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:

  • упругостью
  • трением
  • инерцией

Если одной из систем сообщили энергию и она совершает колебательное движение, то постепенно она передает свою энергию второй системе. Скорость передачи энергии зависит от того, насколько сильна связь, т. е. от степени связи χ.

Если у обеих систем одинаковая собственная частота, то после того, как система 1 придет в состояние покоя (ее энергия обратится в нуль), изменится направление потока энергии. Обе системы будут совершать биения, сдвинутые по времени на Тб/2.

связанные колебания, колебания связанных маятников
связанные колебания, колебания связанных маятников

Биения возникают в результате сложения собственных (нормальных) колебаний обеих систем.

Имеются два возможных типа колебаний связанных систем, при которых устанавливается обмен энергией:

  • Системы колеблются в фазе (синфазно). Наличие связи не меняет частоты, и обе системы колеблются с частотой f1 = f0.
    Связанные колебания - Системы колеблются в фазе
    Связанные колебания — Системы колеблются в фазе
  • Системы колеблются в противофазе (∆φ = π). Из-за дополнительной жесткости Dсв, обусловленной наличием связи, частота колебаний уменьшается. Обе системы колеблются в этом случае с частотой f2.
    Связанные колебания - Системы колеблются в противофазе
    Связанные колебания — Системы колеблются в противофазе

Если

Dжесткость системы 1, равная жесткости системы 2,Ньютон / метр
Dсвдополнительная жесткость, обусловленная связью,Ньютон / метр
mмасса системы 1, равная массе системы 2,кг

то

то для частот f1 и f2 собственных колебаний получаем

\[ f_{1} = f_{0} = \frac{1}{2π} \sqrt[-1.0]{ \frac{D}{m} } \]
\[ f_{2} = \frac{1}{2π} \sqrt[-1.0]{ \frac{D + 2 D_{св}}{m} } \]

Жесткости систем или периоды Т = 1/f собственных колебаний определяют степень связи.

\[ χ = \frac[-1.4]{D}{D+D_{св}} = \frac[-1.4]{T_{1}^2 - T_{2}^2}{T_{1}^2 + T_{2}^2} \]

Выражения (1), (2) и (3) справедливы только для случая, когда массы, собственные частоты и жесткости систем одинаковы.

Связанные колебания

стр. 523