Уравнение незатухающих гармонических колебаний, формула

При любых колебаниях отклонение системы вызывает появление восстанавливающей силы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия.

Линейный закон силы: Гармонические колебания характеризуются соотношением: Восстанавливающая сила Fв пропорциональна отклонению у.

Отклонению у отвечает сила F, определяемая жесткостью системы

Если

yотклонение спустя время t,метр
Fотклоняющая сила,Ньютон
Fввосстанавливающая сила,Ньютон
Dжесткость,Ньютон/метр
mмасса,килограмм
ωкруговая частота,радиан / секунда

то

\[ D = \frac{F}{y} \] \[ F = Dy \]

Противоположно направленная восстанавливающая сила равна

\[ F_{в} = -Dy \]

Согласно основному закону динамики,

\[ Восстанавливающая сила = Масса · Ускорение \]
\[ - Dy = m \diiff{y} \]

Отсюда после перестановки следует

\[ \diiff{y} + \frac{D}{m} y = 0 \]

Полагая

\[ \frac{D}{m} = ω^2 \]

получаем

Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний

\[ \diiff{y} + ω^2 y = 0 \]

Решение этого дифференциального уравнения дается формулой отклонения, что можно доказать, дважды продифференцировав отклонение y по t.

В помощь студенту

Уравнение незатухающих гармонических колебаний

стр. 514